Đề bài: Cho hàm số : $ y = \frac{ – x + 1}{2x + 1} (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$, biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận đứng và trục $Ox$.
Lời giải
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là $ A\left( { – \frac{1}{2},0} \right) $
Phương trình tiếp tuyến (d) qua A có dạng $ y = k\left( {x + \frac{1}{2}} \right) $
(d) tiếp xúc với (C) khi hệ có nghiệm
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}} = k\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\\
{\left( {\frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}}} \right)’} = k{\rm{ }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}} = k\left( {x + \frac{1}{2}} \right){\rm{ }}(1)\\
\frac{{ – 3}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = k{\rm{ }}(2)
\end{array} \right. $
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
$ \frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}} = – \frac{{3\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} $
$ \Leftrightarrow (x – 1)(2x + 1) = \,3(x + \frac{1}{2}) $ và $ x \ne – \frac{1}{2} $ $ \Leftrightarrow x – 1 = \frac{3}{2} $
$ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} $ . Do đó $ k = – \frac{1}{{12}} $
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $ y = – \frac{1}{{12}}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) $.
Trả lời