Đề bài: Cho điểm $A(3;0)$ và Parabol $(P):y=x^2$a) $M$ là một điểm thuộc $(P)$ có hoành độ $x_M=a$. Tính độ dài đoạn $AM$, xác định $a$ để đoạn $AM$ ngắn nhất.b) Chứng tỏ rằng nếu đoạn $AM$ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của Parabol
Lời giải
a. Điểm $M\in (P)$ có hoành độ $x_M=a\Rightarrow M(a;a^2)$
Khoảng cách $AM$ được xác định bởi: $AM^2=(a-3)^2+a^4=a^4+a^2-6a+9=(a^2-1)^2+3(a-1)^2+5\geq 5$
Vậy $AM_{Min}=\sqrt{5} $, đạt được khi $\begin{cases}a^2-1=0 \\ a-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow a=1\Rightarrow M(1;1)$
b. Ta có:
– Tiếp tuyến tại $M$ của Parabol $(P)$ có dạng $(d):x=\frac{1}{2}(y+1) \Leftrightarrow (d):y=2x-1$
– Đường thẳng $AM$ có hệ số góc $k_{AM}=\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=-\frac{1}{2} $
Nhận xét rằng $k_d.k_{AM}=-\frac{1}{2}.2=-1\Leftrightarrow (d)\bot AM $
Vậy $AM $ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của Parabol
Trả lời