Đề: Cho các đường: $y =  – \frac{{{x^3}}}{3} + 3x$        $(P)$  và  $y = m(x – 3)$        $(T)$1) Với giá trị nào của $m$ thì $(T)$ là tiếp tuyến của $(P)$?2) Chứng tỏ họ $(T)$ đi qua một điểm cố định $A$ thuộc $(P)$.3) Gọi $A, B, C$ là các giao điểm của $(P)$ và $(T)$. Hãy tìm m để $OB \bot OC$ ($O$ là gốc tọa độ)

Đề bài: Cho các đường: $y =  – \frac{{{x^3}}}{3} + 3x$        $(P)$  và  $y = m(x – 3)$        $(T)$1) Với giá trị nào của $m$ thì $(T)$ là tiếp tuyến của $(P)$?2) Chứng tỏ họ $(T)$ đi qua một điểm cố định $A$ thuộc $(P)$.3) Gọi $A, B, C$ là các giao điểm của $(P)$ và $(T)$. Hãy tìm m để $OB \bot OC$ ($O$ là gốc tọa độ)

Lời giải

$2)$ Dễ nhận thấy rằng $(T)$ luôn đi qua điểm cố định $A(3, 0)$. Điểm này thuộc $(P)$.

$3)$ Hoành độ của các điểm $A, B, C$ là nghiệm của phương trình:
$\begin{array}{l}
 – {x^3}/3 + 3x = m(x – 3)\\
 \Leftrightarrow (x – 3)({x^2} + 3x + 3m) = 0{\rm{                                (*)}}
\end{array}$
Suy ra hoành độ của $B, C$ ($ \ne 3$) là nghiệm của phương trình ${x^2} + 3x + 3m = 0$.

Để tồn tại $B, C$ có hoành độ $ \ne 3$ cần và đủ là:
$\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = 9 – 12m > 0\\
{3^2} + 3.3 + 3m \ne 0
\end{array} \right.$        $ \Leftrightarrow m Gọi tọa độ của $B, C$ là $({x_B},{y_B}),{\rm{ (}}{x_C},{y_C})$ ta có:  ${x_B}{x_C} = 3m,{\rm{ }}{x_B} + {x_C} – 3$    (theo định lý Viet)
Ta có hệ số góc của $OB$: ${k_B} = {y_B}/{x_B}$, hệ số góc của OC: ${k_C} = {y_C}/{x_C}$.
Theo giả thiết
${k_B}{k_C} = – 1 \Rightarrow {k_B}{k_C} = {y_B}{y_C}/{x_B}{x_C} = – 1 \Rightarrow {y_B}{y_C} = – 3m{\rm{  (m}} \ne {\rm{0)}}$

Lại do $B, C$ thuộc đường thẳng $y = m(x – 3)$ nên
    ${y_B} = m({x_B} – 3),{\rm{ }}{{\rm{y}}_C} = m({x_C} – 3)$
$ \Rightarrow  – 3m = {y_B}{{\rm{y}}_C} = {m^2}({x_B} – 3)({x_C} – 3)  $
                  $ = {m^2}{\rm{[}}{x_B}{x_C} – 3({x_B} + {x_C}) + 9] = {m^2}(3m + 18)$
$ \Leftrightarrow m({m^2} + 6m + 1) = 0$
Do $m \ne 0$ nên ${m^2} + 6m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {\rm{m}} = – {\rm{3}} \pm \sqrt 8 $ (thỏa mãn điều kiện tồn tại $B, C$).
Đáp số: ${\rm{m}} = – {\rm{3}} \pm \sqrt 8 $

$1)$ Do $(*)$ để $(T)$ là tiếp tuyến của $(P)$ thì điều kiện cần và đủ là:
    $\left[ \begin{array}{l}
x = 3  {\rm{ là  nghiệm  của   }}{{\rm{x}}^2} + 3x + 3m = 0\Rightarrow {\rm{   m}} = – 6\\
\Delta  = 9 – 12m = 0{\rm{   }} \Rightarrow m = \frac{3}{4}
\end{array} \right.$