Đề: Biết $a < b < c$. Xem hàm số $y = (x - a)(x - b)(x - c)$1) Chứng tỏ rằng y có cực đại và cực tiểu.2) Xác định vị trí hoành độ của cực đại và cực tiểu đối với $a, b, c$.3) Giả sử $b = 0$. Tìm liên hệ giữa $a, c$ để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong $y = {x^3}$

Đề bài: Biết $a < b < c$. Xem hàm số $y = (x - a)(x - b)(x - c)$1) Chứng tỏ rằng y có cực đại và cực tiểu.2) Xác định vị trí hoành độ của cực đại và cực tiểu đối với $a, b, c$.3) Giả sử $b = 0$. Tìm liên hệ giữa $a, c$ để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong $y = {x^3}$

Lời giải

$1)$ Hàm số xác định với mọi $x$, ta có
$y’ = (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c)$
    $ = 3{x^2} – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc)$                      $(1)$
Và $\Delta ‘ = {(a + b + c)^2} – 3(ab + ac + bc)$
           $ = {a^2} + {b^2} + {c^2} – (ab + ac + bc)  $
           $ = (b – a)(c – a) + {(c – b)^2} > 0$ (do $a suy ra y đạt cực đại và cực tiểu tại ${x_1},{x_2}$ trong đó ${x_1},{x_2}{\rm{ (}}{{\rm{x}}_1}
$2)$ Lần lượt thế $x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ x}} = c$ vào biểu thức $(1)$ ta có:
        $\begin{array}{l}
y'(a) = (a – b)(a – c) > 0,\\
y'(b) = (b – a)(b – c) y'(c) = (c – a)(c – b) > 0.
\end{array}$
( do $a
$3)$ Với $b = 0$ ta có
    $\begin{array}{l}
y = x(x – a)(x – c),\\
y’ = 3{x^2} – 2(a + c)x + ac,\\
y” = 6x – 2(a + c);\\
y” = 0 \Leftrightarrow 6x – 2(a + c) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{a + c}}{3}
\end{array}$
Suy ra hoành độ điểm uốn của đồ thị là $x = \frac{{a + c}}{3}$.
Do điểm uốn nằm trên đường cong $y = {x^3}$ nên ta có
    ${\left( {\frac{{a + c}}{3}} \right)^3} = \frac{{a + c}}{3}\left( {\frac{{a + c}}{3} – a} \right)\left( {\frac{{a + c}}{3} – c} \right)$.
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (a + c)\left[ {{{(a + c)}^2} – (c – 2a)(a – 2c)} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow (a + c)({a^2} + {c^2} – ac) = 0
\end{array}$
a) $a + c = 0$
b) ${a^2} + {c^2} – ac = 0 \Rightarrow a = c = 0$(do $a Vậy liên hệ phải tìm là $a + c = 0$.
Kết quả này vẫn đúng cả khi $a = b = c = 0$, khi đó hàm số sẽ không có cực đại và cực tiểu