Đề bài: Giải và biện luận : ${x^2} + m = \sqrt {x – m} $

Lời giải

Điều kiện : $x \ge m$. Đặt $\sqrt {x – m}  = y \ge 0$
Ta có hệ     $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + m = y{\rm{         (1)}}\\
{y^2} + m = x{\rm{        (2)}}
\end{array} \right.$
Trừ từng vế ta được
    $\left( {x – y} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 0$

a) Hoặc $x = y$, thay vào (1)
    $ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} – x + m = 0$                    $(3)$
Để lấy được nghiệm $x \ge m$ phải xét ba đại lượng
    $\Delta  = 1 – 4m,{\rm{      1}}{\rm{.f}}\left( m \right) = {m^2}$  và $\frac{S}{2} – m = \frac{1}{2} – m$
Ta được kế quả sau:
    Với $m > \frac{1}{4}$: $(1)$ vô nghiệm vì $\Delta      Với $m \le \frac{1}{4}$ : $(1)$ có $2$ nghiệm đều thỏa mãn $x \ge m$ là
        ${x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 – 4m} }}{2}$

b) Hoặc $x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = – x – 1$, thay vào $(1)$ dẫn tới
    $F\left( x \right) = {x^2} + x + m + 1 = 0$                    $(4)$
Để lấy được nghiệm $x \ge m$ ta dựa vào ba đại lượng:
    $\Delta = – 4m – 3{\rm{m,  1}}{\rm{.F}}\left( m \right) = {\left( {m + 1} \right)^2},\frac{S}{2} – m = – \frac{1}{2} – m$
Ta được kết quả là:
Với $m \le – \frac{3}{4}$ : $(4)$ có $2$ nghiệm đều $ \ge m$ là: ${x_{3,4}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt { – 4m – 3} }}{2}$
Với $m > – \frac{3}{4}$ : $(4)$ vô nghiệm

Kết hợp a) và b) ta có kết luận về phương trình ban đầu là:
Với $m \le – \frac{3}{4}$: có $4$ nghiệm là ${x_{1,2}},{x_{3,4}}$
Với $ – \frac{3}{4} Với $m > \frac{1}{4}$ : vô nghiệm

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng