Lời giải
Điều kiện : $x \ge m$. Đặt $\sqrt {x – m} = y \ge 0$
Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + m = y{\rm{ (1)}}\\
{y^2} + m = x{\rm{ (2)}}
\end{array} \right.$
Trừ từng vế ta được
$\left( {x – y} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 0$
a) Hoặc $x = y$, thay vào (1)
$ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} – x + m = 0$ $(3)$
Để lấy được nghiệm $x \ge m$ phải xét ba đại lượng
$\Delta = 1 – 4m,{\rm{ 1}}{\rm{.f}}\left( m \right) = {m^2}$ và $\frac{S}{2} – m = \frac{1}{2} – m$
Ta được kế quả sau:
Với $m > \frac{1}{4}$: $(1)$ vô nghiệm vì $\Delta Với $m \le \frac{1}{4}$ : $(1)$ có $2$ nghiệm đều thỏa mãn $x \ge m$ là
${x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 – 4m} }}{2}$
b) Hoặc $x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = – x – 1$, thay vào $(1)$ dẫn tới
$F\left( x \right) = {x^2} + x + m + 1 = 0$ $(4)$
Để lấy được nghiệm $x \ge m$ ta dựa vào ba đại lượng:
$\Delta = – 4m – 3{\rm{m, 1}}{\rm{.F}}\left( m \right) = {\left( {m + 1} \right)^2},\frac{S}{2} – m = – \frac{1}{2} – m$
Ta được kết quả là:
Với $m \le – \frac{3}{4}$ : $(4)$ có $2$ nghiệm đều $ \ge m$ là: ${x_{3,4}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt { – 4m – 3} }}{2}$
Với $m > – \frac{3}{4}$ : $(4)$ vô nghiệm
Kết hợp a) và b) ta có kết luận về phương trình ban đầu là:
Với $m \le – \frac{3}{4}$: có $4$ nghiệm là ${x_{1,2}},{x_{3,4}}$
Với $ – \frac{3}{4} Với $m > \frac{1}{4}$ : vô nghiệm
=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng
Trả lời