Đề bài: Giải phương trình: $2x^2-2x-5=\sqrt{\frac{4x^2-3x-5}{2}}                                    (1)$

Lời giải

Đặt $2x^2-2x-5=y \geq 0   (2)$ sẽ có $4x^2-3x-5=2y+x+5$
Phương trình $(1)$ trở thành $y=\sqrt{\frac{2y+x+5}{2}} \Leftrightarrow 2y^2=2y+x+5 \Leftrightarrow 2y^2-2y-5=x$
Ta có hệ: $\begin{cases}2x^2-2x-5=y                (3)\\ 2y^2-2y-5=x                  (4)\end{cases}$
Trừ theo từng vế các phương trình $(3),(4)$ ta có $2(x^2-y^2)-2(x-y)=y-x$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x+2y-1)=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=y                              (5.1)}\\
{x=\frac{1}{2}-y                 (5.2)}
\end{array}} \right.$
Thế vào $(4)$:
+ Với $x=y$ có $2y^2-2y-5=y \Leftrightarrow 2y^2-3y-5=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=-1        (L do  (2))}\\
{y=\frac{5}{2}     (TM)  (2)}
\end{array}} \right.$
$\Rightarrow$ phương trình có nghiệm $x=\frac{5}{2}              (6)$
+ Với $x=\frac{1}{2}-y$ có: $2y^2-2y-5=\frac{1}{2}-y \Leftrightarrow 2y^2-y-\frac{11}{2}=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=\frac{1-3\sqrt{5}}{4}    (L  do  (2))}\\
{y=\frac{1+3\sqrt{5}}{4}}
\end{array}} \right.$
Thay $y=\frac{1+3\sqrt{5}}{4}$ vào $(5.2)$ có $x=\frac{1-3\sqrt{5}}{4}              (7)$
Từ $(6),(7)$ kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm là: $\left\{ {x=\frac{5}{2}; x=\frac{1-3\sqrt{5}}{4}} \right\}$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng