Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\frac{1}{2} ; 5} \right)\) thỏa mãn \({8^{2{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){.8^{4x}}\)?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\frac{1}{2} ; 5} \right)\) thỏa mãn \({8^{2{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){.8^{4x}}\)?

A. 7.

B.

C. 6.

D. 5.

GY:

\({8^{2{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){.8^{4x}} \Leftrightarrow {8^{2{x^2} + xy – 4x}} – \left( {1 + xy} \right) = 0\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {8^{2{x^2} + xy – 4x}} – \left( {1 + xy} \right)\)

Áp dụng BĐT \({a^x} > x\left( {a – 1} \right) + 1\) ta có

\(f\left( x \right) = {8^{2{x^2} + xy – 4x}} – \left( {1 + xy} \right) > 7\left( {2{x^2} + xy – 4x} \right) + 1 – \left( {1 + xy} \right)\)\( = 14{x^2} + 2x\left( {3y – 14} \right) > 0 , \forall y \ge 5\)

Do đó \(y \le 4\)

Với \(y \le – 2 \Rightarrow xy < – 1 \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)

Với \(y = – 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {8^{2{x^2} – 5x}} + x – 1 \)

Ta có \(f\left( 5 \right) > 0 ; f\left( {\frac{1}{2}} \right) < 0\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0 \)có nghiệm \(x \in \left( {\frac{1}{2};5} \right)\) \( \Rightarrow y = 1\) thỏa mãn

Với \(y = 0 \Rightarrow {8^{2{x^2}}} = {8^{4x}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2 \left( {{\rm{TM}}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow y = 0\) thỏa mãn

Với \(y > 0 \)có \(f\left( 5 \right) = {8^{5y + 30}} – \left( {1 + 5y} \right) > 0 , \forall y > 0\)

\(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = {8^{\frac{y}{2} – \frac{3}{2}}} – \left( {1 + \frac{y}{2}} \right) < 0 , \forall y = \left\{ {1 ; 2 ; 3 ; 4} \right\}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0 \)có nghiệm \(x \in \left( {\frac{1}{2} ; 5} \right)\)

Vậy \(y = \left\{ { – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } \right\}\).

=======