Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;y} \right)\) thỏa mãn \(2 \le x \le 2021\) và \({2^y} – {\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = 2x – y\)?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;y} \right)\) thỏa mãn \(2 \le x \le 2021\) và \({2^y} – {\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = 2x – y\)?

A. 2020.

B. 10.

C. 9.

D. 2019.

GY:

Đặt \({\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = t \Rightarrow x + {2^{y – 1}} = {2^t} \Leftrightarrow x = {2^t} – {2^{y – 1}}.\)

Phương trình đã cho trở thành: \({2^y} – t = 2\left( {{2^t} – {2^{y – 1}}} \right) – y \Leftrightarrow {2.2^y} + y = {2.2^t} + t\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2.2^x} + x\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow y = t.\)

Suy ra phương trình \({\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = y \Leftrightarrow x + {2^{y – 1}} = {2^y} \Leftrightarrow x = {2^{y – 1}}.\)

\(2 \le x \le 2021 \Rightarrow 2 \le {2^{y – 1}} \le 2021 \Leftrightarrow 1 \le y – 1 \le {\log _2}2021\)\( \Leftrightarrow 2 \le y \le {\log _2}2021 + 1.\)

Do \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {2;3;4;…;11} \right\}\) có 10 giá trị nguyên của \(y\).

Mà \(x = {2^{y – 1}}\) nên với mỗi số nguyên \(y \in \left\{ {2;3;4;…;11} \right\}\) xác định duy nhất một giá trị nguyên của \(x\).

Vậy có 10 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn bài toán.

=======