Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(4\). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện \(ABCD\).

Câu hỏi:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(4\). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện \(ABCD\).

A. \({S_{xq}} = \frac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\).

B. \({S_{xq}} = 8\sqrt 2 \pi \).

C. \({S_{xq}} = \frac{{16\sqrt 3 \pi }}{3}\).

D. \({S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(4\) có diện tích: \({S_{BCD}} = \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{16}}{3}\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Độ dài đường cao khối tứ diện: \(h = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

Bán kính đáy đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\): \(r = \frac{S}{p} = \frac{{4\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\).

=======