(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho một hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = \sqrt 5 \) và góc ở đỉnh là \(2\alpha \) với \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(SO\) tại \(H\) và cắt hình nón theo một đường tròn tâm \(H\). Gọi \(V\) là thể tích của khối nón đỉnh \(O\) và đáy là đường tròn tâm \(H\). Biết \(V = \frac{{50\pi }}{{81}}\) khi \(SH = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(T = 3{a^2} – 2{b^3}\).
A. \(12\).
B. \(23\).
C. \(21\).
D. \(32\).
Lời giải:
Chọn C
Trong \(\Delta SOB\) vuông tại \(O\) ta có \(\widehat {OSB} = \alpha \) với \(\sin \alpha = \frac{2}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \frac{{HN}}{{SH}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow HN = \frac{{2.SH}}{{\sqrt 5 }}\).
Mặt khác \(\sin \alpha = \frac{{HN}}{{SN}} = \frac{{OB}}{{SB}} \Rightarrow SB = \frac{{OB}}{{\sin \alpha }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\);
Trong \(\Delta SOB\) vuông tại \(O\) ta có \(SO = \sqrt {S{B^2} – O{B^2}} = \sqrt {\frac{{45}}{4} – 5} = \frac{5}{2}\).
Theo bài ta có thể tích khối nón đỉnh \(O\) và đáy là đường tròn tâm \(H\) là
\(V = \frac{{50\pi }}{{81}} \Leftrightarrow \frac{1}{3}.OH.\pi .H{N^2} = \frac{{50\pi }}{{81}} \Leftrightarrow OH.H{N^2} = \frac{{50}}{{27}} \Leftrightarrow \left( {SO – SH} \right).\frac{{4S{H^2}}}{5} = \frac{{50}}{{27}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {5 – 2.SH} \right)S{H^2} = \frac{{125}}{{27}} \Leftrightarrow 54S{H^3} – 135S{H^2} + 125 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}SH = \frac{5}{3}\\SH = – \frac{5}{6}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\).
Suy ra \(a = 5;\,b = 3\). Vậy \(T = 3{a^2} – 2{b^3} = 3.25 – 2.27 = 21\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời