(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho hình trụ \(\left( T \right)\) chiều cao bằng \(2a\), hai đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) có tâm lần lượt là \(O\) và \({O_1}\), bán kính bằng \(a\). Trên đường tròn đáy tâm \(O\) lấy điểm \(A\), trên đường tròn đáy tâm \({O_1}\) lấy điểm \(B\)sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện \(O{O_1}AB\) bằng
A. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).
D. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\).
Lời giải:
Chọn D
Gọi \(C\) là điểm trên đường tròn tâm \(O\) sao cho \(BC||O{O_1}\). Khi đó tứ giác \(OCB{O_1}\) là hình chữ nhật và có diện tích là \({S_{OCB{O_1}}} = 2{a^2}\).
Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(AC = \sqrt {A{B^2} – B{C^2}} = a\) nên tam giác \(OAC\) đều.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(OC\), ta có \(AH \bot OC\) và \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Mặt khác \(\left( {ACO} \right) \bot \left( {OCB{O_1}} \right)\) nên \(AH \bot \left( {OCB{O_1}} \right)\).
Thể tích khối chóp \(A.OCB{O_1}\) là \({V_{A.OCB{O_1}}} = \frac{1}{3}AH.{S_{O.ACB{O_1}}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Thể tích khối tứ diện \(O{O_1}AB\) bằng thể tích khối chóp \(A.OB{O_1}\)\( \Rightarrow {V_{AOB{O_1}}} = \frac{1}{2}{V_{A.OCB{O_1}}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời