(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và các cạnh còn lại đều bằng \(a\). Biết rằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\frac{{a\sqrt m }}{n}\) với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\); \(m \le 15\). Tổng \(T = m + n\) bằng
A. 15.
B. 17.
C. 19.
D. 21.
Lời giải:
Chọn C
Gọi \(H,K\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD,ACD\). Do các tam giác \(BCD,ACD\) đều nên \(AN = BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow NH = NK = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\), suy ra \(\Delta ABN\) đều \( \Rightarrow MN = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).
Do đó trục các tam giác \(BCD,ACD\) cắt nhau tại \(O\) trên đường cao \(NM\) của tam giác \(ABN\) và \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có: \(OH = NH.\tan \widehat {ONH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\tan 30^\circ = \frac{a}{6}\).
Từ đo: \(R = OB = \sqrt {O{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{36}} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\)\( \Rightarrow m = 13,n = 6\)\( \Rightarrow T = m + n = 19\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời