(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho một hình nón có bán kính đáy bằng \(a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(S\) của hình nón cắt đường tròn đáy tại \(A\) và \(B\) sao cho \(AB = a\sqrt 3 \), khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Thể tích khối nón đã cho bằng
A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{12}}\).
B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{6}\).
C. \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\).
D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{24}}\).
Lời giải:
Chọn B
Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) dễ thấy \(OI\) là đường trung tuyến của tam giác \(OAB\).
Dựng \(OK \bot SI\) tại \(K\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow OK \bot AB \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right)\).
Ta có \(BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OI = \sqrt {{a^2} – \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}\).
Khi đó \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = OK \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} – \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{{16}}{{2{a^2}}} – \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = \frac{a}{2}\).
Thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.\frac{a}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{6}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời