(THPT Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Cho hình nón đỉnh \(S\) có đường cao \(h = a\sqrt 3 \). Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua đỉnh \(S\), cắt đường tròn đáy tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(AB = 8a\) và tạo với mặt đáy một góc \(30^\circ \). Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. \(\frac{{10\sqrt 7 \pi }}{3}{a^2}\).
B. \(20\sqrt 7 \pi {a^2}\).
C. \(10\sqrt 7 \pi {a^2}\)
D. \(5\sqrt 7 \pi {a^2}\).
Lời giải:
Gọi \(O\) là tâm đường tròn đáy, \(I\) là trung điểm \(AB\). Khi đó, góc giữa mặt phẳng \((\alpha )\) và mặt đáy là \(\widehat {SIO} = 30^\circ \).
Trong tam giác SOI, ta có \(OI = \frac{{SO}}{{\tan \widehat {SIO}}} = 3a\).
Trong tam giác \(AIO\), ta có \(O{A^2} = O{I^2} + A{I^2} = 9{a^2} + 16{a^2} = 5a\)
\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {3{a^2} + 25{a^2}} = 2\sqrt 7 a\).
Vậy \({S_{xq}} = \pi \cdot OASA = 10\sqrt 7 \pi {a^2}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời