Cho một hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = \sqrt 5 \) và góc ở đỉnh là \(2\alpha \) với \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\)vuông góc với \(SO\) tại \(H\) và cắt hình nón theo một đường tròn tâm \(H\). Gọi \(V\) là thể tích của khối nón đỉnh \(O\) và đáy là đường tròn tâm \(H\). Biết \(V\) đạt giá trị lớn nhất khi \(SH = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(T = 3{a^2} – 2{b^3}\)?

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Cho một hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = \sqrt 5 \) và góc ở đỉnh là \(2\alpha \) với \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\)vuông góc với \(SO\) tại \(H\) và cắt hình nón theo một đường tròn tâm \(H\). Gọi \(V\) là thể tích của khối nón đỉnh \(O\) và đáy là đường tròn tâm \(H\). Biết \(V\) đạt giá trị lớn nhất khi \(SH = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(T = 3{a^2} – 2{b^3}\)?
A.\(12\)
B. \(23\)
C. \(21\)
D. \(32\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(SH = x\). Gọi \(SAB\) là thiết diện qua trục \(SO\) và \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(SA,SB\) với \(\left( P \right)\).
Xét \(\Delta SOA\) vuông tại \(O\) ta có \(SO = OA\cot \alpha = R\cot \alpha \Rightarrow OH = SO – OH = R\cot \alpha – x\).
Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\) ta có \(HM = SH\tan \alpha = x\tan \alpha \).
Ta có \(V = \frac{1}{3}\pi .H{M^2}.OH = \frac{1}{3}\pi {x^2}.{\tan ^2}\alpha .\left( {R\cot \alpha – x} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có:
\({x^2}\left( {R\cot \alpha – x} \right) = 4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( {R\cot \alpha – x} \right) \le 4.{\left( {\frac{{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + R\cot \alpha – x}}{3}} \right)^3} = \frac{4}{{27}}{R^3}{\cot ^3}\alpha \)
Vậy \({V_{{\rm{Max}}}} = \frac{{4\pi }}{{81}}{R^3}\cot \alpha \) đạt được \( \Leftrightarrow x = \frac{{2R}}{3}\cot \alpha = \frac{{2R}}{3}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} – 1} = \frac{2}{3}.\sqrt 5 .\sqrt {\frac{{{3^2}}}{{{2^2}}} – 1} = \frac{5}{3}\)
Từ đây ta có \(a = 5,b = 3 \Rightarrow T = {3.5^2} – {2.3^3} = 21\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)