Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,\) \(A’A = A’B = A’D = 2a.\) Biết khoảng cách từ điểm \(B’\) đến mặt phẳng \(\left( {A’BD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\) Thể tích của khối hộp đã cho bằng
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{2}\).
C. \({a^3}\).
D. \(3{a^3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(O\) là hình chiếu vuông góc của \(A’\) xuống \(\left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(A’A = A’B = A’D = 2a\) nên \(\Delta \,A’OA = \Delta \,A’OD = \Delta \,A’OB \Rightarrow OA = OB = OD\)
Mà \(\Delta ADB\) vuông tại \(A\)nên \(O\) là trung điểm của \(BD\).
Kẻ \(AH \bot DB\,\,\left( {H \in DB} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {A’DB} \right)\)
\(d\left( {B’,\left( {A’DB} \right)\,} \right) = d\left( {A,\left( {A’DB} \right)\,} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow AD = a\sqrt 3 \)
Suy ra \(AO = a\) và \(A’O = a\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{\left( H \right)}} = A’O.AD.AB = 3{a^3}\).
Trả lời