Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh \(SD\), \(DC\). Thể tích khối tứ diện \(ACMN\) là

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh \(SD\), \(DC\). Thể tích khối tứ diện \(ACMN\) là

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

B. \(\frac{{{a^3}}}{8}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Ta có:

+ \(\Delta SCD\) cân tại \(S\); \(N\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(SN \bot CD\).

+ \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\); \(N\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(ON \bot CD\).

Mà \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\) nên \(\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SN,ON}} \right) = \widehat {SNO} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(\Delta SNO\), ta có \(SO = NO.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).

Lại có \(M\) là trung điểm của \(SD\) nên \(d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(N\) là trung điểm của \(CD\) nên

\({S_{\Delta ACN}} = \frac{1}{2}AD.CN = \frac{1}{2}AD.\frac{1}{2}CD = \frac{1}{4}AD.CD = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}4{a^2} = {a^2}\).

Do đó, thể tích khối \(MACN\) là \({V_{MACN}} = \frac{1}{3}.d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ACN}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).