DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh \(SD\), \(DC\). Thể tích khối tứ diện \(ACMN\) là
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{8}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có:
+ \(\Delta SCD\) cân tại \(S\); \(N\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(SN \bot CD\).
+ \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\); \(N\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(ON \bot CD\).
Mà \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\) nên \(\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SN,ON}} \right) = \widehat {SNO} = 60^\circ \).
Xét tam giác \(\Delta SNO\), ta có \(SO = NO.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).
Lại có \(M\) là trung điểm của \(SD\) nên \(d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(N\) là trung điểm của \(CD\) nên
\({S_{\Delta ACN}} = \frac{1}{2}AD.CN = \frac{1}{2}AD.\frac{1}{2}CD = \frac{1}{4}AD.CD = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}4{a^2} = {a^2}\).
Do đó, thể tích khối \(MACN\) là \({V_{MACN}} = \frac{1}{3}.d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ACN}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Trả lời