Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(SA = 2a\)và \(SA\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc\(30^\circ \). Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Hai mặt phẳng \(\left( {SGB} \right)\) và \(\left( {SGC} \right)\)cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(SA = 2a\)và \(SA\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc\(30^\circ \). Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Hai mặt phẳng \(\left( {SGB} \right)\) và \(\left( {SGC} \right)\)cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

\(\frac{{9{a^3}}}{{10}}\).

B. \(\frac{{9{a^3}}}{{40}}\).

C. \(\frac{{27{a^3}}}{{10}}\).

D. \(\frac{{81{a^3}}}{{10}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SGB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SGC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SGB} \right) \cap \left( {SGC} \right) = SG\end{array} \right. \Leftrightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\).

Suy ra hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là \(AG\).

Do đó \(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \left( {\widehat {SA,AG}} \right) = \widehat {SAG} = {30^0}\).

Nên \(AG = SA.cos30^\circ = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

\(AM = \frac{3}{2}AG = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(A{B^2} + B{M^2} = A{M^2} \Leftrightarrow \frac{5}{4}A{B^2} = \frac{{27{a^2}}}{4}\) \( \Leftrightarrow AB = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{\left( {\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}} \right)^2} = \frac{{9{a^3}}}{{10}}\).