Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), khoảng cách từ tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy \(ABC\) đến một mặt bên là \(\frac{a}{2}\). Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng

Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), khoảng cách từ tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy \(ABC\) đến một mặt bên là \(\frac{a}{2}\). Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\frac{{2\pi {a^3}}}{3}\).

B. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{9}\).

C. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\).

D. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{{27}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(BC \bot OE\).

Dựng \(OH \bot SE\) tại \(H\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OE\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BC\\OH \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\), suy ra \(OH = d\left( {O\,,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\).

Vì tam giác đều \(ABC\) cạnh \(2a\) nên \(AE = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Suy ra \(OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) và \(OE = \frac{1}{3}AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Trong tam giác vuông \(SOE,\) ta có

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} – \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.\)

Khối nón ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) có bán kính đáy \(R = OA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\), đường cao \(h = SO = a\).

Vậy thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}\).

=======