A. \(\frac{{2\pi {a^3}}}{3}\).
B. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{9}\).
C. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\).
D. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{{27}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(BC \bot OE\).
Dựng \(OH \bot SE\) tại \(H\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OE\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BC\\OH \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\), suy ra \(OH = d\left( {O\,,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\).
Vì tam giác đều \(ABC\) cạnh \(2a\) nên \(AE = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Suy ra \(OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) và \(OE = \frac{1}{3}AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Trong tam giác vuông \(SOE,\) ta có
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} – \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.\)
Khối nón ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) có bán kính đáy \(R = OA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\), đường cao \(h = SO = a\).
Vậy thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}\).
=======
Trả lời