Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\)là tam giác cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\) tạo với nhau một góc có cosin bằng \(\frac{1}{{\sqrt 7 }}\). Tính thể tích hình chóp \(S.ABCD\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M,\,\,N,\,\,I\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,CD,\,\,BC\).
Vì \(SAB\)là tam giác cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên trung tuyến \(SM\)(vừa là đường cao) vuông góc với đáy.
Ta dễ chứng minh được \(MC \bot DI\).
Từ \(I\)kẻ \(IK \bot SC\)tại \(K\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}ID \bot MC\\ID \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow ID \bot SC\). Mà \(IK \bot SC\) nên \(DK \bot SC\). Nên góc tạo bởi \(\left( {SBC} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\) bằng góc tạo bởi \(IK\) và \(KD\).
Đặt \(SM = x\). Khi đó \(S{N^2} = S{M^2} + M{N^2} = {x^2} + {a^2}\), \(S{C^2} = S{D^2} = S{M^2} + M{A^2} + A{D^2} = S{M^2} + M{D^2} = {x^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} = {x^2} + \frac{{5{a^2}}}{4}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Nên \(\Delta BCS \sim \Delta KCI\).
\(S{B^2} = S{M^2} + M{B^2} = {x^2} + \frac{{{a^2}}}{4}\), \(I{D^2} = I{C^2} + C{D^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\).
Suy ra \(IK = \frac{{CI}}{{CS}}BS = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{{4{x^2} + {a^2}}}{{4{x^2} + 5{a^2}}}} \).
Hơn nữa: \(SN.CD = KD.SC \Rightarrow KD = 2a\sqrt {\frac{{{x^2} + {a^2}}}{{4{x^2} + 5{a^2}}}} \).
Xét tam giác \(IKD\)có \(I{K^2} + K{D^2} – I{D^2} = – 2{a^4} < 0\) nên góc \(\widehat {IKD}\) tù.
Do đó ta có
\(\cos \widehat {IKD} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{I{K^2} + K{D^2} – I{D^2}}}{{2IK.KD}} = \frac{{ – {a^2}}}{{\sqrt {\left( {4{x^2} + {a^2}} \right)\left( {{x^2} + {a^2}} \right)} }}\)
\( \Leftrightarrow x = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Khi đó thể tích cần tìm là: \(V = \)\(V = \frac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\frac{{\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Trả lời