Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc \(30^\circ \). Thể tích của khối chóp đó bằng
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
\( \Rightarrow SB\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,SB} \right)} = \widehat {BSC} = 30^\circ \).
Trong tam giác \(SCB\), ta có \(\tan 30^\circ = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{a}{{SB}} \Leftrightarrow SB = a\sqrt 3 \); \(SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = a\sqrt 2 \).
Vậy thể tích khối chóp là \({V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Trả lời