DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cân với đáy lớn\(AB = 2a,AD = BC = CD = a\) mặt bên \(SAB\) là tam giác cân đỉnh \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(ABCD\). Biết khoảng cách từ\(A\) tới mặt phẳng \((SBC)\) bằng \(\frac{{2a\sqrt {15} }}{5}\), tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp.
\(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
B. \(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\).
C. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 5 }}{4}\).
D. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(O,I\)là trung điểm của \(AB,BC\); \(H\)là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(SI\).
Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\)\( \Rightarrow SO \bot AB\). Mà \((SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot (ABCD)\)
Mà \(ABCD\) là hình thang cân với đáy \(AB = 2a,AD = BC = CD = a\)
\( \Rightarrow \Delta OAD,\Delta OCD,\Delta OBC\)là các tam giác đều, cạnh \(a\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 3.{S_{OBC}} = 3.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Do \(O\) là trung điểm của \(AB\)nên \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2.d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\) (1)
\(\Delta OBC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OI \bot BC}\\{OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.\)
Mà \(BC \bot SO\) (do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\))
\( \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right) = > BC \bot OH\)
Lại có:\(SI \bot OH = > OH \bot \left( {SBC} \right) = > d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\) (2)
Từ (1), (2) suy ra\(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2.OH = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5} = > OH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
\(\Delta SOI\) vuông tại \(O\), \(OH \bot SI\)
\( = > \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{\frac{3}{4}{a^2}}} = \frac{1}{{\frac{3}{5}{a^2}}} \Leftrightarrow SO = a\sqrt 3 \)
Thể tích khối chóp\(S.ABCD\) là: \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}}}{4}\).
Trả lời