Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 3 ,\) tam giác \(SBC\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng \(SD\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) một góc
\(60^\circ \,\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
\({a^3}\sqrt 3 .\)
B. \({a^3}\sqrt 6 .\)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Kẻ \(SH \bot BC.\) Từ giả thiết suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Xác định được hình chiếu vuông góc của \(D\) lên \(\left( {SBC} \right)\) là điểm \(C\).
Do đó: \(\widehat {\left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD,SC} \right)} = \widehat {DSC} = 60^\circ \,\).
Tam giác vuông \(SCD\) vuông tại \(C\) có \(SC = DC.\cot \widehat {DSC} = a\).
Tam giác vuông \(SBC\) vuông tại \(S\) có \(SB = \sqrt {B{C^2} – S{C^2}} = a\sqrt 2 ,{\rm{ }}SH = \frac{{SB.SC}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy thể tích khối chóp: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}A{B^2}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\). Chọn
D.
Trả lời