Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(AB = a\), \(SA\) vuông góc với đáy, Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\), góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(\alpha \) thỏa mãn \(\cot \alpha = \sqrt {11} \). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bẳng
\({a^3}\).
B. \(\frac{{2\sqrt 5 {a^3}}}{3}\).
C. \(\frac{{2{a^3}}}{3}\).
D. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Kẻ \(NK\) vuông góc với \(AC\) tại \(K\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}NK \bot AC\\NK \bot SA\\AC \cap SA = A\\AC\,,\,SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NK \bot \left( {SAC} \right)\).
Do đó góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là góc \(\widehat {NMK}\).
nên \(MK = \cot \alpha .KN = \sqrt {11} .\frac{1}{2}BO = \frac{{a\sqrt {22} }}{4}\) suy ra \(AM = \sqrt {K{M^2} – A{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {22} }}{4}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).
\(SA = 2AM = a\) \( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Trả lời