Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng \(30^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\({S_{ABCD}} = {a^2}\).
\(SC \cap \left( {SAD} \right) = \left\{ S \right\}\).
Vì \(CD \bot AD;CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\) tại \(D\).
Suy ra \(SD\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SC,SD} \right)\)=CSD\( = 30^\circ \)
\(\tan 30^\circ = \frac{{DC}}{{SD}} \Rightarrow SD = \frac{{DC}}{{\tan 30^\circ }} = a\sqrt 3 \).
\(S{A^2} + A{D^2} = S{D^2} \Rightarrow S{A^2} = S{D^2} – A{D^2} = {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} – {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 \).
Khi đó: \(V = \frac{1}{3}.{S_{S.ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Trả lời