Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi, hai đường chéo \(AC = 2a\sqrt 3 \), \(BD = 2a\) và cắt nhau tại \(O\), hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(ABCD\). Biết khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Tính thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABCD\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Kẻ \(OH \bot AB\) tại \(H\)và \(OK \bot SH\) tại \(K\).
Suy ra \(OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Lại có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}\) nên \(OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} – \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}} – \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}\) nên \(SO = \frac{a}{2}\).
\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AC.BD = \frac{1}{2}.2a\sqrt 3 .2a = 2{a^2}\sqrt 3 \)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.2{a^2}\sqrt 3 .\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Trả lời