Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân, \(AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2a\). Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(CD\). Tính cosin góc giữa \(MN\) và \(\left( {SAC} \right)\), biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt {310} }}{{20}}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{10}}\).
C. \(\frac{{3\sqrt {310} }}{{20}}\).
D. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(MN\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\). Gọi \(P\), \(Q\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(AB\),\(SC\) và \(AC\) với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Khi đó \(P\), \(Q\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(SC\) và \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(QK\) suy ra\(I \in \left( {SAC} \right)\).
Theo giả thiết, \(ABCD\) là hình thang cân có \(AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2a\) nên \(AD = 2a\) và \(AB = BC = CD = a\) do đó \(KN = \frac{1}{2}AD = a\) và \(NP = \frac{{3a}}{2}\). Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(CH\) vuông góc với \(AD\), với \(H \in AD\). Khi đó, ta có \(CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \(KC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \({S_{ABCD}} = \frac{{a + 2a}}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).
Với \(CN = \frac{a}{2}\) nên \(K{C^2} + N{C^2} = K{N^2}\) suy ra tam giác \(KNC\) vuông tại \(C\). Do đó \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) lên \(\left( {SAC} \right)\) suy ra góc giữa \(MN\) và \(\left( {SAC} \right)\) là góc \(\widehat {NIC}\).
Mặt khác, ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow SA = a\)\( \Rightarrow MP = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\).
Xét tam giác \(MNP\)vuông tại P, ta có \(MN = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
Vì \(MP,KQ\) lần lượt là đường trung bình của tam giác \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAC\)suy ra \(MP{\rm{//}}KQ{\rm{//}}SA\)
nên \(\frac{{IN}}{{MN}} = \frac{{KN}}{{NP}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow IN = \frac{2}{3}.MN \Rightarrow NI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt {10} }}{2} \Leftrightarrow IN = \frac{{a\sqrt {10} }}{3}\).
Xét tam giác \(NIC\) vuông tại\(C\), ta có \(IC = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{3}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {31} }}{6}\) và \(\cos \widehat {NIC} = \frac{{IC}}{{IN}}\) suy ra \(\cos \widehat {NIC} = \frac{{a\sqrt {31} }}{6}:\frac{{a\sqrt {10} }}{3} = \frac{{\sqrt {310} }}{{20}}\).
Trả lời