DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy là tam giác \(ABC\)vuông tại \(C\), \(AB = 2a\), \(AC = a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({60^o}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(CH \bot AB\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot SB\)
Trong \(\left( {SBC} \right)\) kẻ \(CK \bot SB\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot SB\\CK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {CHK} \right) \Rightarrow HK \bot SB\).
\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)}} \right) = \widehat {\left( {HK,CK} \right)} = \widehat {CKH} = 60^\circ \).
Xét tam giác vuông ABC ta có: \(BC = \sqrt {4{a^2} – {a^2}} = a\sqrt 3 \)
\(CH = \frac{{AC.BC}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(CHK\) có: \(HK = HC.\cot 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{2}\).
\(HB = \frac{{B{C^2}}}{{AB}} = \frac{{3{a^2}}}{{2a}} = \frac{{3a}}{2}\)
Ta có \(\Delta BHK\~\Delta BSA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HB}}{{SB}}\)\( \Rightarrow \frac{{\frac{a}{2}}}{{SA}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\sqrt {S{A^2} + 4{a^2}} }} \Rightarrow 3SA = \sqrt {S{A^2} + 4{a^2}} \)
\( \Leftrightarrow 9S{A^2} = S{A^2} + 4{a^2} \Leftrightarrow 8S{A^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}.2a.a = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
Trả lời