Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng.

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng.

\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Giao điểm của \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(S\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\).

Có \(SA \bot BC\) nên \(\left( {SAM} \right) \bot BC\). Từ đó góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là góc \(\angle ASM = 45^\circ \).

Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\): \(SA = AM.\tan 45^\circ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan 45^\circ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)