Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Tính thể tích hình chóp biết khoảng cách từ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{a}{4}\).
\(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\), hạ \(AM\) vuông góc với \(BC\). Suy ra \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}G \in AM\\AM \cap \left( {SBC} \right) = M\end{array} \right.\) suy ra: \(\frac{{{d_{\left( {G,\left( {SBC} \right)} \right)}}}}{{{d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}}} = \frac{{GM}}{{AM}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = 3.{d_{\left( {G,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{3a}}{4}\)
Trong \(\left( {SAM} \right)\) hạ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH = {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{3a}}{4}\).
Xét tam giác vuông \(SAM\) ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow SA = \sqrt {\frac{{A{H^2}.A{M^2}}}{{A{M^2} – A{H^2}}}} = \frac{3}{2}a\). Suy ra
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
Trả lời