Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(60^\circ \), \(SB = a\sqrt 2 \), \(\widehat {BSC} = 45^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo a là:
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{15}}\).
B. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}\).
C. \(V = 2\sqrt 2 {a^3}\).
D. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}}\).
Kẻ \(AH \bot SB\) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do \(BC \bot SA\) và \(BC \bot AH\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
Kẻ \(BI \bot AC\)\( \Rightarrow BI \bot SC\) và kẻ \(BK \bot SC\)\( \Rightarrow SC \bot \left( {BIK} \right)\)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\widehat {BKI} = 60^\circ \).
Do \(\widehat {BSC} = 45^\circ \) nên \(SB = BC = a\sqrt 2 \) và \(K\) là trung điểm của \(SC\) nên \(BK = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2}\)\( = a\).
Trong tam giác vuông \(BIK\) có \(BI = BK.\sin 60^\circ \)\( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong tam giác vuông \(ABC\) có \(\frac{1}{{B{I^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\)\( \Rightarrow AB = \frac{{BI.BC}}{{\sqrt {B{C^2} – B{I^2}} }}\)\( = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\).
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC\)\( = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{2}\); \(SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} \)\( = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Vậy \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}}\)\( = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}\).
Trả lời