Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác\(ABC\) đều cạnh \(a\), tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\), tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác\(ABC\) đều cạnh \(a\), tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\), tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Suy ra \(SD \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(SD \bot AB\) và \(SB \bot AB\,(gt)\). Suy ra \(AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow BA \bot BD\).

Tương tự có \(AC \bot DC\) hay tam giác \(ACD\) vuông ở \(C\).

Dễ thấy \(\Delta SBA = \Delta SCA\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông). Suy ra \(SB = SC\).

Từ đó ta chứng minh được \(\Delta SBD = \Delta SCD\) nên cũng có \(DB = DC\).

Vậy \(DA\) là đường trung trực của \(BC\) nên cũng là đường phân giác của góc \(\widehat {BAC}\).

Ta có \(\widehat {DAC} = 30^\circ \). Suy ra \(DC = AC.\tan 30^\circ = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SBD} = 60^\circ \).

Ta có \(\tan \widehat {SBD} = \frac{{SD}}{{BD}} \Rightarrow SD = BD\tan \widehat {SBD} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 = a\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SD = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).