DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại A, có \(AB = AC = a\), \(\widehat {BAC} = {120^o}\). \(SA\) vuông góc mặt phẳng đáy, khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
\(\frac{{3{a^3}}}{8}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{8}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt {13} }}{{52}}\).
D. \(\frac{{{a^3}}}{{24}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}} = a\sqrt 3 \); \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Do \(\Delta ABC\) cân nên \(AM \bot BC,AM = \sqrt {A{B^2} – B{M^2}} = \frac{a}{2}\).
Do vậy \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)(\(BC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(SA,AM\) trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\)).
Kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\). Do \(AH\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(SM,BC\) trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Ta lại có: \(\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^3}}}{8}\)
Trả lời