Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \), \(SB > 2a\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {BAS} = \widehat {BCS} = 90^\circ \), sin của góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt {11} }}{{11}}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dựng hình chữ nhật \(ABCD\). Suy ra \(DA = BC = a\sqrt 2 \), \(DC = AB = a\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot SA\\BA \bot AD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BA \bot SD\) và \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot CD\\BC \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SD\)
\( \Rightarrow SD \bot (ABCD)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {BSH}\) là góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Ta có: \(\frac{{\sqrt {11} }}{{11}} = \sin \widehat {BSH}\)\( = \frac{{BH}}{{SB}} = \frac{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{SB}}\)\( = \frac{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{SB}}\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{d^2}\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{11}}{{S{B^2}}}\)\(\left( 1 \right)\).
Mà: \(\frac{1}{{{d^2}\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{1}{{D{S^2}}} + \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}}\)\( = \frac{1}{{S{B^2} – B{D^2}}} + \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}}\)\( = \frac{1}{{S{B^2} – 3{a^2}}} + \frac{3}{{2{a^2}}}\)\(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\frac{{11}}{{S{B^2}}}\)\( = \frac{1}{{S{B^2} – 3{a^2}}} + \frac{3}{{2{a^2}}}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}S{B^2} = 6{a^2}\\S{B^2} = \frac{{11}}{3}{a^2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}SB = a\sqrt 6 \\SB = a\sqrt {\frac{{11}}{3}} \end{array} \right.\).
Theo giả thiết \(SB > 2a\)\( \Rightarrow SB = a\sqrt 6 \Rightarrow SD = a\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}SD.\frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
Trả lời