DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số\(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {0;\,\, – 1} \right\}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = – 2\ln 2\\f\left( 2 \right) = a + b\ln 3;\,\,a,\,b \in \mathbb{Q}\\x\left( {x + 1} \right).f’\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\end{array} \right.\).
Tính \({a^2} + {b^2}\).
A.\(\frac{{25}}{4}\).
B. \(\frac{9}{2}\).
C. \(\frac{5}{2}\).
D. \(\frac{{13}}{4}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(x\left( {x + 1} \right).f’\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\) (1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho \({\left( {x + 1} \right)^2}\) ta được \(\frac{x}{{x + 1}}.f’\left( x \right) + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \)\({\left[ {\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]^\prime } = \frac{x}{{x + 1}}\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;\,\, – 1} \right\}\).\( \Rightarrow \)\(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right)\)\( = \int {\frac{x}{{x + 1}}\,} {\rm{d}}x\)
\( \Leftrightarrow \)\(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = x – \ln \left| {x + 1} \right| + C\)\( \Leftrightarrow \)\(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{x}\left( {x – \ln \left| {x + 1} \right| + C} \right)\)
Mặt khác, \(f\left( 1 \right) = – 2\ln 2\)\( \Leftrightarrow \)\(2\left( {1 – \ln 2 + C} \right) = – 2\ln 2\)\( \Leftrightarrow \)\(C = – 1\).
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{x}\left( {x – \ln \left| {x + 1} \right| – 1} \right)\).
Với \(x = 2\) thì \(f\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( {1 – \ln 3} \right) = \frac{3}{2} – \frac{3}{2}\ln 3\). Suy ra \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = – \frac{3}{2}\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{9}{2}\).
Để lại một bình luận