Cho hàm số $y=x^4-2x^2+2$ đồng biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Dạng bài: Xét tính đơn điệu của hàm số bậc bốn trùng phương.
Kiến thức liên quan:

– Tập xác định của hàm số $y=ax^4+bx^2+c$ là $D=\mathbb{R}$.
– Đạo hàm của hàm số.
– Xét dấu của đạo hàm.
– Liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số ($y’>0$ thì hàm số đồng biến, $y'<0$ thì hàm số nghịch biến).
– Bảng biến thiên.
Mức độ: Nhận biết, thông hiểu.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm $y’$.
Bước 3: Giải phương trình $y’=0$ để tìm các điểm tới hạn.
Bước 4: Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của $y’$. Từ đó, xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bước 5: Đối chiếu kết quả với các phương án đã cho và chọn đáp án đúng.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1:
Cho hàm số $y=x^4-4x^2+5$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty; -1)$.
B. $(0; 1)$.
C. $(1; +\infty)$.
*D. $(-1; 0)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 4x^3-8x = 4x(x^2-2)$.
$y’=0 \Leftrightarrow 4x(x^2-2)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=0 \
x=\pm \sqrt{2}
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -\sqrt{2} & & 0 & & \sqrt{2} & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-\sqrt{2})$ và $(0;\sqrt{2})$.
Đối chiếu các đáp án, ta thấy $(-1;0) \subset (0;\sqrt{2})$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$.
Chọn đáp án D.

Câu 2:
Hàm số $y=-x^4+2x^2+1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(1;+\infty)$.
B. $(-\infty; -1)$.
*C. $(-\infty;-1)$.
D. $(-1; 0)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’=-4x^3+4x = -4x(x^2-1) = -4x(x-1)(x+1)$.
$y’=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=0 \
x=\pm 1
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow
\end{array} $$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$.
Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án C có khoảng $(-\infty;-1)$ là khoảng đồng biến.
Chọn đáp án C.

Câu 3:
Hàm số $y=x^4+x^2+2$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
*A. $(-\infty;0)$.
B. $(0;+\infty)$.
C. $(-1;1)$.
D. $(-2;2)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 4x^3+2x = 2x(2x^2+1)$.
$y’=0 \Leftrightarrow 2x(2x^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0$.
Vì $2x^2+1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, dấu của $y’$ phụ thuộc vào dấu của $2x$.
Nếu $x>0 \Rightarrow y’>0$.
Nếu $x<0 \Rightarrow y'<0$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & & 0 & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$ và đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$.
Chọn đáp án A.

Câu 4:
Cho hàm số $y=-x^4-x^2+1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;0)$.
B. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;0)$.
*C. Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$.
D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;+\infty)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -4x^3-2x = -2x(2x^2+1)$.
$y’=0 \Leftrightarrow -2x(2x^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0$.
Vì $2x^2+1>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, dấu của $y’$ phụ thuộc vào dấu của $-2x$.
Nếu $x>0 \Rightarrow y'<0$.
Nếu $x<0 \Rightarrow y’>0$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & & 0 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty)$ và đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$.
Chọn đáp án C.

Câu 5:
Cho hàm số $y=x^4-6x^2+1$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\sqrt{3}; 0)$.
B. $(-\infty; -\sqrt{3})$.
C. $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.
*D. $(-\sqrt{3}; 0)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’=4x^3-12x=4x(x^2-3)$.
$y’=0 \Leftrightarrow 4x(x^2-3)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=0 \
x=\pm \sqrt{3}
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -\sqrt{3} & & 0 & & \sqrt{3} & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow
\end{array} $$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\sqrt{3};0)$ và $(\sqrt{3};+\infty)$.
Chọn đáp án D.

Câu 6:
Cho hàm số $y=x^4-8x^2+1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$.
*B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -2)$.
C. Hàm số đồng biến trên $(-2; 2)$.
D. Hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$.
$y’=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=0 \
x=\pm 2
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;2)$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty)$.
Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án B đúng vì hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$.
Chọn đáp án B.

Câu 7:
Cho hàm số $y=x^4+2x^2-3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;0)$.
B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;0)$.
*C. Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$.
D. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’=4x^3+4x=4x(x^2+1)$.
$y’=0 \Leftrightarrow 4x(x^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0$.
Vì $x^2+1>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, dấu của $y’$ phụ thuộc vào dấu của $4x$.
Nếu $x>0 \Rightarrow y’>0$.
Nếu $x<0 \Rightarrow y'<0$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & & 0 & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow
\end{array} $$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$.
Chọn đáp án C.

Câu 8:
Cho hàm số $y=-2x^4+4x^2-1$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty;-1)$.
*B. $(-1;0)$.
C. $(0;1)$.
D. $(1;+\infty)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’=-8x^3+8x=-8x(x^2-1)=-8x(x-1)(x+1)$.
$y’=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=0 \
x=\pm 1
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$.
Chọn đáp án B.

Câu 9:
Cho hàm số $f(x)=x^4-4x^2+3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;0)$.
B. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; – \sqrt{2})$.
C. Hàm số nghịch biến trên $(2;+\infty)$.
*D. Hàm số đồng biến trên $(\sqrt{2};+\infty)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $f'(x) = 4x^3-8x = 4x(x^2-2)$.
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm\sqrt{2}$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -\sqrt{2} & & 0 & & \sqrt{2} & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow
\end{array} $$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\sqrt{2};0)$ và $(\sqrt{2};+\infty)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-\sqrt{2})$ và $(0;\sqrt{2})$.
Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án D đúng.
Chọn đáp án D.

Câu 10:
Cho hàm số $g(x)=x^4-6x^2+5$. Khoảng nào sau đây hàm số nghịch biến?
A. $(1;+\infty)$.
*B. $(0; \sqrt{3})$.
C. $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.
D. $(-\infty; -3)$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $g'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)$.
$g'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{3}$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -\sqrt{3} & & 0 & & \sqrt{3} & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-\sqrt{3})$ và $(0;\sqrt{3})$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\sqrt{3};0)$ và $(\sqrt{3};+\infty)$.
Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án B đúng vì $(0;\sqrt{3})$ là một khoảng nghịch biến.
Chọn đáp án B.