Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có bảng biến thiên hàm nhất biến sau:

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu:

Câu hỏi mẫu thuộc dạng bài khảo sát sự biến thiên của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Kiến thức liên quan là đạo hàm, bảng biến thiên, tính đơn điệu của hàm số. Mức độ câu hỏi là trung bình. Phương pháp giải là dựa vào bảng biến thiên để xác định khoảng đơn điệu của hàm số. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Lưu ý điểm $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có bảng biến thiên hàm nhất biến sau:

| x | $-\infty$ | | 2 | | $+\infty$ |
|———|—————-|——-|——-|——-|—————-|
| y’ | | – | 0 | – | |
| y | 3 | $\searrow$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $\searrow$ | 3 |

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(2; +\infty)$
D. $(-\infty; 2)$

Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y’ < 0$ trên khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Đáp án A đúng.

Câu 2: Cho hàm số $y = \frac{2x-1}{x+1}$ có bảng biến thiên như sau:

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & +\infty \\ \hline y’ & & + & || & + & \\ \hline y & 2 & \nearrow & -\infty || +\infty & \nearrow & 2 \end{array}

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$
B. $(-1; +\infty)$
C. $(-\infty; -1)$
D. $(-\infty; +\infty)$

Lời giải
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy $y’ > 0$ trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Đáp án A đúng.

Câu 3: Cho hàm số $y = \frac{x+3}{x-1}$ có bảng biến thiên:

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline y’ & & – & || & – & \\ \hline y & 1 & \searrow & -\infty || +\infty & \searrow & 1 \end{array}

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y’ < 0$ trên khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Đáp án A đúng.

Câu 4: Cho hàm số $y = \frac{3x-2}{x+2}$ có bảng biến thiên sau:

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -2 & & +\infty \\ \hline y’ & & – & || & – & \\ \hline y & 3 & \searrow & -\infty || +\infty & \searrow & 3 \end{array}

Khoảng nghịch biến của hàm số là:
A. $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(-2; +\infty)$
D. $(-\infty; -2)$

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $y'<0$ trên khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$. Hàm số nghịch biến trên hai khoảng này. Đáp án A đúng.

Câu 5: Cho hàm số $y = \frac{-x+1}{2x+3}$ có bảng biến thiên:

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline y’ & & – & || & – & \\ \hline y & -\frac{1}{2} & \searrow & -\infty || +\infty & \searrow & -\frac{1}{2} \end{array}

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(-\frac{3}{2}; +\infty)$
D. $(-\infty; -\frac{3}{2})$

Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y’ < 0$ trên khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên hai khoảng này. Đáp án A đúng.

Câu 6: Cho hàm số $y=\frac{4x-5}{2x+3}$. Bảng biến thiên của hàm số là:

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline y’ & & + & || & + & \\ \hline y & 2 & \nearrow & -\infty || +\infty & \nearrow & 2 \end{array}

Hàm số đồng biến trên khoảng:
A. $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(-\frac{3}{2}; +\infty)$
D. $(-\infty; -\frac{3}{2})$

Lời giải
Theo bảng biến thiên, $y’>0$ trên $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$, nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này. Đáp án A đúng.

Câu 7: Cho hàm số $y = \frac{-2x+1}{3x-4}$. Bảng biến thiên:

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & \frac{4}{3} & & +\infty \\ \hline y’ & & – & || & – & \\ \hline y & -\frac{2}{3} & \searrow & -\infty || +\infty & \searrow & -\frac{2}{3} \end{array}

Hàm số nghịch biến trên:
A. $(-\infty; \frac{4}{3})$ và $(\frac{4}{3}; +\infty)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(\frac{4}{3}; +\infty)$
D. $(-\infty; \frac{4}{3})$

Lời giải
Từ bảng biến thiên, $y’ < 0$ trên khoảng $(-\infty; \frac{4}{3})$ và $(\frac{4}{3}; +\infty)$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Đáp án A đúng.

Câu 8: Cho hàm số $y = \frac{5x-1}{x+2}$. Bảng biến thiên:

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -2 & & +\infty \\ \hline y’ & & + & || & + & \\ \hline y & 5 & \nearrow & -\infty || +\infty & \nearrow & 5 \end{array}

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(-2; +\infty)$
D. $(-\infty; -2)$

Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y’ > 0$ trên $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$. Hàm số đồng biến trên hai khoảng này. Đáp án A đúng.

Câu 9: Cho hàm số $y = \frac{2x^2+3x-2}{x+1}$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.
A. $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$
B. $(-\infty; -1)$
C. $(-1; +\infty)$
D. $\emptyset$

Lời giải
Ta có $y = \frac{2x^2+3x-2}{x+1} = \frac{(2x-1)(x+2)}{x+1} = 2x – 1 – \frac{3}{x+1}$.
$y’ = 2 + \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \forall x \ne -1$.
Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Đáp án A đúng.

Câu 10: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x-1}$. Xác định khoảng nghịch biến của hàm số.
A. $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
B. $(-\infty; 1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $\emptyset$

Lời giải
Ta có $y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x-1} = \frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x – 2$ với $x \ne 1$.
$y’ = 1 > 0, \forall x \ne 1$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Không có khoảng nghịch biến. Đáp án D đúng.