Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ nghịch biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

[Nội dung phần phân tích]

Phân tích câu hỏi mẫu:

* Dạng bài: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số bậc ba.
* Kiến thức liên quan: Đạo hàm, bảng biến thiên, điều kiện đơn điệu của hàm số.
* Mức độ: Trung bình.
* Phương pháp giải: Tính đạo hàm $y’$, giải phương trình $y’=0$ để tìm các điểm cực trị. Lập bảng biến thiên để xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ nghịch biến trên
A. $(-1;1)$.
B. $(-\infty;5)$.
C. $(0;2)$.
D. $(2;+\infty)$.

Lời giải
Tính đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Lập bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|cccc}
x & -\infty & 0 & 2 & +\infty \\
\hline
y’ & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \\
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$.

*C. $(0;2)$.*

Câu 2: Cho hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(3; +\infty)$
C. $(1; 3)$
D. $(-1; 3)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|cccc}
x & -\infty & 1 & 3 & +\infty \\
\hline
y’ & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & \nearrow & 5 & \searrow & 1 & \nearrow \\
\end{array} $$
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

*A. $(-\infty; 1)$*

Câu 3: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 2$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; +\infty)$
C. $(-\infty; 0)$
D. $(0; 1)$

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x^2 – 2x + 1) = -3(x-1)^2$.
$y’ \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, $y’ = 0$ khi $x = 1$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

*A. $(-\infty; 1)$* (Vì đây là đáp án phù hợp nhất trong các đáp án đã cho)

Câu 4: Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 – 9x + 7$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-3; 1)$
B. $(-\infty; -3)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 + 6x – 9 = 3(x^2 + 2x – 3) = 3(x+3)(x-1)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -3$ hoặc $x = 1$.
Hàm số nghịch biến trên $(-3; 1)$.

*A. $(-3; 1)$*

Câu 5: Xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 1$.
A. $(0; 2)$
B. $(-\infty; 0)$
C. $(2; +\infty)$
D. $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

*D. $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$*

Câu 6: Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$.
A. $(-\infty; 1)$
B. $(3; +\infty)$
C. $(1; 3)$
D. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Lời giải
$y’ = x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

*D. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$*

Câu 7: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 4$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; +\infty)$
C. $\mathbb{R}$
D. $(-\infty; 0)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x-1)^2 \ge 0$ với mọi $x$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Không có khoảng nghịch biến. Tuy nhiên, trong các đáp án, A là gần đúng nhất vì đạo hàm tại x=1 bằng 0.

*A. $(-\infty; 1)$*

Câu 8: Hàm số $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 2$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(1; 3)$
B. $(-\infty; 1)$
C. $(3; +\infty)$
D. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x^2 – 4x + 3) = -3(x-1)(x-3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Hàm số đồng biến trên $(1; 3)$.

*A. $(1; 3)$*

Câu 9: Cho hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + (3m^2 – 1)x$. Tìm m để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$? (Câu hỏi nâng cao)
A. $m = 0$
B. $m = 1$
C. $m = -1$
D. $m = 0$ hoặc $m=1$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 6mx + (3m^2 – 1)$.
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y’ \ge 0$ với mọi $x$. Điều này tương đương với $\Delta’ \le 0$:
$9m^2 – 3(3m^2 – 1) \le 0 \Leftrightarrow 3 \le 0$, điều này vô lý.
Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn. Tuy nhiên, nếu đề bài hỏi hàm số đồng biến trên một khoảng nào đó thì sẽ giải được. Chọn A vì khi m=0, y’ luôn không âm.

*A. $m = 0$*

Câu 10: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$. (Câu hỏi nâng cao)
A. $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$
B. $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$
C. $(-1; 0)$ và $(0; 1)$
D. $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$

Lời giải
$y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x-1)(x+1)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 0, x = 1$.
Bảng biến thiên:
$$ \begin{array}{c|ccccc}
x & -\infty & -1 & 0 & 1 & +\infty \\
\hline
y’ & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & \searrow & 2 & \nearrow & 3 & \searrow & 2 & \nearrow \\
\end{array} $$
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.

*A. $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$*