Cho hàm số $y = \frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ có bảng biến thiên hàm hữu tỷ sau:

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu:

Câu hỏi thuộc dạng bài khảo sát sự biến thiên của hàm số hữu tỉ. Kiến thức liên quan là đạo hàm, bảng biến thiên và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Mức độ câu hỏi là trung bình. Phương pháp giải là dựa vào bảng biến thiên để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Quan sát dấu của $y’$ để xác định tính đồng biến, nghịch biến.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1:
Cho hàm số $y = \frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ có bảng biến thiên sau:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty && -2 && -1 && 3 && +\infty \\
\hline y’ && + & 0 & – & || & – & 0 & + \\
\hline y & -\infty & \nearrow & 0 & \searrow & -\infty || +\infty & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}$$
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-2; -1)$
B. $(3; +\infty)$
C. $(-\infty; -2)$ và $(3; +\infty)$
D. $(-2; -1)$ và $(3; +\infty)$

Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y’ > 0$ trên khoảng $(-\infty; -2)$ và $(3; +\infty)$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng này. Đáp án C là đúng.

Câu 2:
Cho hàm số $y = \frac{x^2+x-2}{x+2}$ có bảng biến thiên:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty && -3 && -2 && 1 && +\infty \\
\hline y’ && + & 0 & – & || & – & 0 & + \\
\hline y & +\infty & \nearrow & 4 & \searrow & -\infty || +\infty & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}$$
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-3; -2)$
B. $(1; +\infty)$
C. $(-3; -2)$ và $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; -3)$

Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y’ < 0$ trên khoảng $(-3; -2)$ và $(1; +\infty)$. Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Đáp án C là đúng.

Câu 3:
Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x – 2}$. Khoảng đồng biến của hàm số là:
A. $(-\infty; 10)$
B. $(1; 3)$
C. $(-3; +\infty)$
D. $(-\infty; 2) và (2; +\infty)$

Lời giải
$y’ = \frac{(2x – 4)(x – 2) – (x^2 – 4x + 3)}{(x – 2)^2} = \frac{x^2 – 4x + 5}{(x – 2)^2}$.
Vì $x^2 – 4x + 5 = (x – 2)^2 + 1 > 0$ với mọi $x$, nên $y’ > 0$ với mọi $x \ne 2$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Không có khoảng nghịch biến.