Cho hàm số $y=\dfrac{-x^2+5x-1}{-x-3}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu:

Câu hỏi mẫu thuộc dạng khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Kiến thức liên quan là đạo hàm của hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Mức độ câu hỏi là trung bình. Phương pháp giải là tính đạo hàm của hàm số, tìm nghiệm của đạo hàm và lập bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Cho hàm số $y=\dfrac{-x^2+5x-1}{-x-3}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(2;+\infty)$.
B. Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $(2;+\infty)$.
C. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(-8;-3)$.
D. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(-3;2)$.

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(-2x+5)(-x-3) – (-x^2+5x-1)(-1)}{(-x-3)^2} = \dfrac{2x^2+6x-5x-15 + x^2-5x+1}{(-x-3)^2} = \dfrac{3x^2 – 4x – 14}{(-x-3)^2}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3x^2 – 4x – 14 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2 \pm \sqrt{46}}{3}$
$x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{46}}{3} \approx -1.8$ , $x_2 = \dfrac{2 + \sqrt{46}}{3} \approx 2.5$
Bảng biến thiên:
…
Vậy hàm số đồng biến trên $(\dfrac{2 + \sqrt{46}}{3}; +\infty)$ và $(\dfrac{2 – \sqrt{46}}{3}; -3)$
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; \dfrac{2 – \sqrt{46}}{3})$ và $(-3; \dfrac{2 + \sqrt{46}}{3})$
Do đó, A đúng.

Câu 2: Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 – 4x + 3}{x + 1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-∞; -1)$
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-∞; -1)$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; +∞)$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; +∞)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(2x-4)(x+1) – (x^2-4x+3)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2x – 4x – 4 – x^2 + 4x – 3}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x – 7}{(x+1)^2}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x – 7 = 0 \Leftrightarrow x = -1 \pm 2\sqrt{2}$
$x_1 = -1 – 2\sqrt{2} \approx -3.8$, $x_2 = -1 + 2\sqrt{2} \approx 1.8$
Bảng biến thiên:
…
Vậy hàm số đồng biến trên $(-∞; -1 – 2\sqrt{2}) \cup (-1 + 2\sqrt{2}; +∞)$ và nghịch biến trên $(-1 – 2\sqrt{2}; -1) \cup (-1; -1 + 2\sqrt{2})$
Đáp án B đúng.

Câu 3: Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 – 5x + 2}{x – 2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$
B. Hàm số nghịch biến trên $(2; +\infty)$
C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 2)$
D. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(4x-5)(x-2) – (2x^2-5x+2)}{(x-2)^2} = \dfrac{4x^2 – 8x – 5x + 10 – 2x^2 + 5x – 2}{(x-2)^2} = \dfrac{2x^2 – 8x + 8}{(x-2)^2} = \dfrac{2(x-2)^2}{(x-2)^2} = 2$ (với $x \ne 2$)
$y’ > 0$ với mọi $x \ne 2$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Đáp án A đúng.

Câu 4: Cho hàm số $y = \dfrac{-x^2 + 3x – 2}{x – 1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$
B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$
C. Hàm số đồng biến trên $(1; +\infty)$
D. Hàm số nghịch biến trên $(1; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(-2x+3)(x-1) – (-x^2+3x-2)}{(x-1)^2} = \dfrac{-2x^2 + 2x + 3x – 3 + x^2 – 3x + 2}{(x-1)^2} = \dfrac{-x^2 + 2x – 1}{(x-1)^2} = \dfrac{-(x-1)^2}{(x-1)^2} = -1$ (với $x \ne 1$)
$y’ < 0$ với mọi $x \ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
Đáp án B và D đúng.

Câu 5: Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x – 3}{x + 1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(-∞; -1)$ và $(-1; +∞)$
B. Hàm số nghịch biến trên $(-∞; -1)$ và $(-1; +∞)$
C. Hàm số đồng biến trên $(-∞; -1)$
D. Hàm số nghịch biến trên $(-1; +∞)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x-3)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x^2+4x+2-x^2-2x+3}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2+2x+5}{(x+1)^2}$
Vì $x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4 > 0$ với mọi x, và $(x+1)^2 > 0$ với mọi $x \ne -1$, nên $y’ > 0$ với mọi $x \ne -1$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Đáp án A đúng.

Câu 6: Cho hàm số $y = \dfrac{-x^2 + 7x – 10}{x – 2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 2)$
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(-2x+7)(x-2) – (-x^2+7x-10)}{(x-2)^2} = \dfrac{-2x^2+4x+7x-14+x^2-7x+10}{(x-2)^2} = \dfrac{-x^2+4x-4}{(x-2)^2} = \dfrac{-(x-2)^2}{(x-2)^2} = -1$ (với $x \ne 2$)
Vì $y’ = -1 < 0$ với mọi $x \ne 2$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Đáp án B và D đúng.

Câu 7: Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 – x + 1}{x – 1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
C. Hàm số đồng biến trên $(1; +\infty)$
D. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(2x-1)(x-1) – (x^2-x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 – 3x + 1 – x^2 + x – 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 – 2x}{(x-1)^2}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2$
Bảng biến thiên:
…
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 1)$ và $(1; 2)$.
Không có đáp án nào đúng.

Câu 8: Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 – 3x + 2}{x – 1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
C. Hàm số đồng biến trên $(1; +\infty)$
D. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(2x-3)(x-1) – (x^2 – 3x + 2)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 – 5x + 3 – x^2 + 3x – 2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 – 2x + 1}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)^2} = 1$ (với $x \ne 1$)
Vì $y’ = 1 > 0$ với mọi $x \ne 1$, hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
Đáp án A đúng.

Câu 9: Cho hàm số $y = \dfrac{2x^3 + 3x^2 – 12x + 1}{x^2 + 2x}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-∞; -2)$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$

Lời giải:
$y’ = \dfrac{(6x^2 + 6x – 12)(x^2 + 2x) – (2x^3 + 3x^2 – 12x + 1)(2x + 2)}{(x^2 + 2x)^2}$
Phân tích y’ khá phức tạp, cần dùng máy tính bỏ túi để vẽ đồ thị hoặc lập bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến nghịch biến.

Câu 10: Cho hàm số $y = \dfrac{x^3 – 3x^2 + 2x}{x^2 – 2x}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-∞; 0)$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 1)$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$

Lời giải:
$y = \dfrac{x(x^2 – 3x + 2)}{x(x-2)} = \dfrac{(x-1)(x-2)}{x-2} = x – 1$ (với $x \ne 2$)
$y’ = 1 > 0$ với mọi $x \ne 2$
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$
Đáp án A đúng.