PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(R\) và đồ thị có ba điểm cực trị như hình dưới đâySố điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f({x^3} – 3x + 2)\) là
A. \(5\).
B. \(7\).
C. \(9\).
D. \(11\).
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận truyền thống
Ta có:
\(g'(x) = (3{x^2} – 3).f'({x^3} – 3x + 2)\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} – 3 = 0\\f'({x^3} – 3x + 2) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\\{x^3} – 3x + 2 = a\;(1)\\{x^3} – 3x + 2 = b\;(2)\\{x^3} – 3x + 2 = c\;(3)\end{array} \right.\)
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\), suy ra:
Phương trình \((1)\) có 1 nghiệm khác \( \pm 1\), vì \( – 4 < a < – 1\)
Phương trình (2) có 1 nghiệm khác \( \pm 1\), vì \( – 1 < b < 0\)
Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt khác \( \pm 1\), vì \(0 < c < 4\)
Như vậy phương trình \(g'(x) = 0\) có \(7\)nghiệm phân biệt, tức là hàm số \(g(x) = f({x^3} – 3x + 2)\) có \(7\) điểm cực trị. Chọn B
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Ta có hàm số \(g(x) = f({x^3} – 3x + 2)\)
Đặt \(t = {x^3} – 3{\rm{x}} + 2 \Rightarrow t’ = 3{{\rm{x}}^2} – 3; \Leftrightarrow t’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Khi đó hàm số trở thành \(g\left( t \right) = f\left( t \right)\).
Từ đồ thị hàm số\(g\left( x \right) = f\left( x \right)\)ta có các điểm cực trị \(a \in \left( { – \infty ; – 1} \right),\;b \in \left( { – 1;0} \right),\;c \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó ta có bảng biến thiên sau:
Vậy có tất cả 7 điểm cực trị.
=======
Trả lời