Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) có đồ thị như hình vẽ.

Tìm số nghiệm của phương trình \(f\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2 = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Tìm số nghiệm của phương trình \(f\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2 = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \(2\).

D. \(6\).

Lời giải

Chọn B

Cách 1: PP tự luận truyền thống

Ta có \(f\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) =  – 2\)

Dựa vào đồ thị ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {a_1} \in \left( { – \infty ; – 2} \right)}\\{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  – 1}\\{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {a_3} \in \left( {0;1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{a_1}}}{{\sqrt 2 }}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{a_3}}}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\)

Ta có \(\frac{{{a_1}}}{{\sqrt 2 }} <  – 1\) nên phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{a_1}}}{{\sqrt 2 }}\) vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số \(y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\)

Ta thấy phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) có 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\); phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{a_3}}}{{\sqrt 2 }}\) có 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) và các nghiệm là khác nhau.

Vậy của phương trình \(f\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2 = 0\) có 4 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Ta có \(f\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sin x + \cos x} \right) =  – 2\)

Đặt \(u = \sin x + \cos x\)

Ta có \(u’ = \cos x – \sin x\);

\(u’ = 0 \Leftrightarrow \cos x – \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).

Mà \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right.\)

BBT của hàm số \(u\left( x \right)\):

Hàm số u có 2 điểm cực trị là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = a\), \(f\left( { – \sqrt 2 } \right) = b\) với \(a > 0\), \( – 2 < b < 0\).

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và từ bảng biến thiên của hàm số \(u = \sin x + \cos x\) ta có bảng sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình \(f\left( u \right) =  – 2\) có \(4\) nghiệm \(x\).

Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm \(x\).