Cóbao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 2021x} \right| + m} \right)\) có ít nhất \(5\) điểm cực trị?
A. \(2019.\)
B. \(2020.\)
C. \(2021.\)
D. \(2022.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Vì \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 2021x} \right| + m} \right)\) là hàm số chẵn nên số điểm cực trị của \(g\left( x \right)\) bằng \(2\) lần số cực trị dương của \(f\left( {{x^3} + 2021x + m} \right)\) cộng với \(1.\)
Với \(x > 0,\) ta có \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 2021x + m} \right);\) \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 2021} \right)f’\left( {{x^3} + 2021x + m} \right).\)
Đặt \(x = 3 – 2t\) ta có \(t = \frac{{3 – x}}{2}\) và \(f’\left( x \right) = f’\left( {3 – 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \pm 2\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = 1\\x = – 1\end{array} \right..\)
Suy ra \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 2021x + m = 7\\{x^3} + 2021x + m = 1\\{x^3} + 2021x + m = – 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 2021x = 7 – m & (1)\\{x^3} + 2021x = 1 – m & (2)\\{x^3} + 2021x = – 1 – m & (3)\end{array} \right..\)
Hàm số \(g\left( x \right)\) có ít nhất \(5\) điểm cực trị khi và chỉ khi có ít nhất \(2\) trong \(3\) phương trình \((1),\) \((2),\) \((3)\) có nghiệm dương.
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} + 2021x\) có \(h’\left( x \right) = 3{x^2} + 2021\).
Ta có BBT của \(h\left( x \right)\) như sau:
Vì \(7 – m > 1 – m > – 1 – m\) nên ta có \(1 – m > 0 \Leftrightarrow m < 1.\)
Mà \(m \in \left[ { – 2021;2021} \right] \cap \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { – 2021;…;0} \right\}.\)
Vậy có \(2022\) giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======
Để lại một bình luận