Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\). Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\). Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) là

A. \(2\).

B. \(8\).

C. \(10\).

D. \(6\).

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Phương pháp tự luận

\(g’\left( x \right) = 3f’\left( {f\left( x \right)} \right).f’\left( x \right)g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3f’\left( {f\left( x \right)} \right).f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f’\left( {f\left( x \right)} \right) = 0}\\{f’\left( x \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = a}\\{x = 0}\\{x = a}\end{array}} \right.\),\(\;\;\left( {2 < a < 3} \right)\).

\({\rm{ + }}\;f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm đơn phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\) khác \(0\) và \(a\).

+ Vì \(2 < a < 3\) nên \(f\left( x \right) = a\) có 3 nghiệm đơn phân biệt \({x_4}\), \({x_5}\), \({x_6}\) khác \({x_1}\), \({x_2},\;{x_3}\), \(0\),\(\;\;a\).

Suy ra \(g’\left( x \right) = 0\) có 8 nghiệm đơn phân biệt.

Do đó hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\) có 8 điểm cực trị.

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(u = f\left( x \right)\)

Từ đồ thị của hàm \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra BBT của hàm \(u = f\left( x \right)\) và hàm \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\) như sau (với \(2 < a < 3;\)\(f\left( { – 5} \right) <  – 5 < f\left( a \right) <  – 4\)).

Từ BBT của hàm hợp ta có hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\) có 8 điểm cực trị.

=======