Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^3}(x) + 3f(x) = \sin (2{x^3} – 3{x^2} + x),\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x)} {\rm{d}}x\) thuộc khoảng nào?

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^3}(x) + 3f(x) = \sin (2{x^3} – 3{x^2} + x),\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x)} {\rm{d}}x\) thuộc khoảng nào?
A. \(( – 1;1)\).

B. \(( – 3; – 2)\).

C. \((1;2)\).

D. \(( – 2; – 1)\)
Lời giải

Đặt \(t = x – \frac{1}{2} \Rightarrow x = t + \frac{1}{2}\) ta được:
\(\begin{array}{l}{f^3}\left( {t + \frac{1}{2}} \right) + 3f\left( {t + \frac{1}{2}} \right) = \sin \left[ {2{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^3} – 3{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \left( {t + \frac{1}{2}} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( {t + \frac{1}{2}} \right) + 3f\left( {t + \frac{1}{2}} \right) = \sin \left[ {2{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^3} – 3{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \left( {t + \frac{1}{2}} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( {t + \frac{1}{2}} \right) + 3f\left( {t + \frac{1}{2}} \right) = \sin \left( {2{t^3} – \frac{1}{2}t} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow {f^3}\left( { – t + \frac{1}{2}} \right) + 3f\left( { – t + \frac{1}{2}} \right) = – \sin \left( {2{t^3} – \frac{1}{2}t} \right) = – {f^3}\left( {t + \frac{1}{2}} \right) – 3f\left( {t + \frac{1}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow f\left( { – t + \frac{1}{2}} \right) = – f\left( {t + \frac{1}{2}} \right)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( {t + \frac{1}{2}} \right)\) là hàm số lẻ.
Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {f(x)} {\rm{d}}x\)
Đặt \(x = t + \frac{1}{2} \Rightarrow {\rm{d}}x = {\rm{d}}t\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = – \frac{1}{2};x = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow I = \int\limits_{ – \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {f\left( {t + \frac{1}{2}} \right){\rm{d}}t = 0} \) do \(f\left( {t + \frac{1}{2}} \right)\) là hàm số lẻ.