DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\x&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Khi đó \(I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xf\left( {\sin x} \right)} dx + 2\int\limits_0^2 {f\left( {3 – 2x} \right)} dx\)bằng
A.\(\frac{7}{3}\).
B. \(\frac{8}{3}\).
C. \(3\).
D. \(\frac{{10}}{3}\).
GY::
Ta có: \(I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xf\left( {\sin x} \right)} dx + 2\int\limits_0^2 {f\left( {3 – 2x} \right)} dx = {I_1} + {I_2}\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_1} = 2\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\x&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ – 1}^0 {xdx} + \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)dx} = – \frac{2}{3}\).
Đặt \(t = 3 – 2x \Rightarrow dt = – 2dx \Rightarrow dx = – \frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 3\\x = 2 \Rightarrow t = – 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_{ – 1}^3 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ – 1}^3 {f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\x&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {I_2} = \left( {\int\limits_{ – 1}^0 {xdx} + \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} – x} \right)dx} } \right) = 4\).
Vậy \(I = {I_1} + {I_2} = \frac{{10}}{3}\)
Để lại một bình luận