Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\\{{x^2} – 2x + 3}&{{\rm{ khi }}x < 2}\end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x + 1)\cos x\;{\rm{d}}x} \) bằng:

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\\{{x^2} – 2x + 3}&{{\rm{ khi }}x < 2}\end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x + 1)\cos x\;{\rm{d}}x} \) bằng:

A.\(\frac{{23}}{3}\).

B. \(\frac{{23}}{6}\).

C. \(\frac{{17}}{6}\).

D. \(\frac{{17}}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.

B2: Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} ,\,\,\forall c \in \left( {a;b} \right)\).

B3: Lựa chọn hàm \(f\left( x \right)\) thích hợp để tính giá trị tích phân.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x + 1)\cos x\;{\rm{d}}x} \)

Đặt \(t = 2\sin x + 1 \Rightarrow \frac{1}{2}{\rm{d}}t = \cos x{\rm{d}}x\)

Đổi cận: \(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 3\end{array}\).

\(I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(t){\rm{d}}t}  = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}} x = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – 2x + 3} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} – 1} \right){\rm{d}}x} } \right] = \frac{{23}}{6}\).