DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\{ – x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_1^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}} dx + \int\limits_{\sqrt 3 }^{2\sqrt 6 } {x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} dx = \frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a – b\) bằng
A.\(77\).
B. \(67\).
C. \(57\).
D. \(76\).
GY::
\(I = \int\limits_1^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}} dx + \int\limits_{\sqrt 3 }^{2\sqrt 6 } {x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} dx = {I_1} + {I_2}\)
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = {e^2} \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow 2tdt = 2xdx \Rightarrow xdx = tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\\x = 2\sqrt 6 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_2^5 {t.f\left( t \right)dt} = \int\limits_2^5 {x.f\left( x \right)dx} \)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\{ – x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{2}x + 2} \right)dx + } \int\limits_2^5 {x.\left( { – x + 7} \right)dx = } \frac{{79}}{2} \Rightarrow a = 79,\;b = 2\).
Vậy \(a – b = 77\)
Để lại phản hồi