Cho hàm số \(f(x)\) là hàm bậc 5 và đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { – 10;10} \right)\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + m} \right)\) có đúng \(5\) điểm cực trị?

Câu hỏi: Cho hàm số \(f(x)\) là hàm bậc 5 và đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { – 10;10} \right)\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + m} \right)\) có đúng \(5\) điểm cực trị?

A. \(3\).

B. \(7\).

C. \(10\).

D. \(9\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(f'(x)\) giao với trục hoành tại các điểm có hoành độ \(x = 0;\,\,x = 2;\,\,x = 3\), trong đó điểm có hoành độ \(x = 2\) là điểm tiếp xúc với trục hoành do đó \(f’\left( x \right) = ax{\left( {x – 2} \right)^2}\left( {x – 3} \right),\) với \(a < 0,\,\,a \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(y’ = 2xf’\left( {{x^2} + m} \right) = 2ax\left( {{x^2} + m} \right){\left( {{x^2} + m – 2} \right)^2}\left( {{x^2} + m – 3} \right).\)

TH1: Nếu \(m \ge 3 \Rightarrow {x^2} + m > 0;\,\,{x^2} + m – 3 \ge 0,\,\,\forall x\) khi đó \(y’\) đổi dấu qua \(x = 0\), hàm số có đúng một điểm cực trị.

TH2: Nếu \(m < 0\) khi đó \(y’\) đổi dấu qua \(5\) điểm là \(x = 0;\,\,x = \pm \sqrt { – m} ;\,\,x = \pm \sqrt {3 – m} \) hàm số có đúng \(5\) điểm cực trị.

TH3: Nếu \(0 \le m < 3 \Rightarrow {x^2} + m \ge 0,\forall x\) khi đó \(y’\) đổi dấu qua \(3\) điểm là \(x = 0;\,\,x = \pm \sqrt {3 – m} \), hàm số có đúng ba điểm cực trị.

Vì \(m < 0\) và \(m \in \left( { – 10;10} \right)\) nên \(m \in \left\{ { – 9; – 8; – 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1} \right\}\).

Vậy có tất cả \(9\) số nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======