Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 3x + 2\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).Tích phân \(\int\limits_1^5 {xf’\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 3x + 2\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).Tích phân \(\int\limits_1^5 {xf’\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A.\( – \frac{{31}}{4}\).

B. \(\frac{{17}}{4}\).

C. \(\frac{{33}}{4}\).

D. \(\frac{{49}}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ giả thiết ta có \(f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 3x + 2\) nên suy ra \(f\left( 1 \right) = 2\), \(f\left( 5 \right) = 5\).

Suy ra \(I = \int\limits_1^5 {xf’\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {xf\left( x \right)} \right|_1^5 – \int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 23 – \int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Đặt \(x = {t^3} + 3t + 1 \Rightarrow {\rm{d}}x = \left( {3{t^2} + 3} \right){\rm{d}}t\).

Với \(x = 1 \Rightarrow t = 0;x = 5 \Rightarrow t = 1\)

Do đó \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int\limits_0^1 {f\left( {{t^3} + 3t + 1} \right)\left( {3{t^2} + 3} \right){\rm{d}}t = } \int\limits_0^1 {\left( {3t + 2} \right)\left( {3{t^2} + 3} \right){\rm{d}}t = } \frac{{59}}{4}\).

Vậy \(I = 23 – \frac{{59}}{4} = \frac{{33}}{4}\).